Primjer 1.

U električnom kolu na Slici 1., primjenom prvog i drugog Kirchoffovog zakona odrediti struje u svim granama električnog kola, snagu koja se razvija na impedansi i snagu koju izvor daje u električno kolo. Poznato je:

Rješenje:

Za dato električno kolo potrebno je proizvoljno odrediti smjerove struja u pojedinim granama, kao i smjerove obilaska kontura, kako je to urađeno na Slici 1a. U električnom kolu ima n=2 čvora i m=3 grane.

Kirchoffovi zakoni primjenjeni na električna kola prostoperiodičnih struja u kompleksnom obliku su:

ˇ Prvi Kirchoffov zakon:

ˇ Drugi Kirchoffov zakon:

Ove jednačine su formalno iste kao jednačine za električna kola sa jednosmjernim strujama. Razlika je jedino u tome što se umjesto intenziteta jednosmjerne struje, te elektromotorne sile E i otpomosti R, koriste njihove kompleksne efektivne vrijednosti, odnosno impedanse Z. Kompleksna efektivna vrijednost ovih veličina sadrži realnu efektivnu vrijednost i početnu fazu. Na ovaj način sistem jednačina ponovo se svodi na sistem algebarskih jednačina, ali u kompleksnom obliku.

Broj jednačina po prvom Kirchoffovom zakonu koji je potreban za rješavanje električnog kola je:

Prvi Kirchoffov zakon moguće je napisati za bilo koji čvor u električnom kolu. Odabran čvor 1, te jednačina po prvom Kirchoffovom zakonu glasi:

(1)

Broj jednačina po drugom Kirchoffovom zakonu koji je potreban za rješavanje električnog kola je:

n-(m-1)=3-(2-1)=2.

Na Slici 1.a, proizvoljno su odabrani smjerovi obilaska kontura. Jednačine napisane na osnovu drugog Kirchoffovog zakona su:

(2)

(3)

Napisane jednačine po prvom i drugom Kirchoffovom zakonu (1), (2), (3) čine sistem od tri jednačine sa tri nepoznate struje ( ). Rješavanju sistema jednačina moguće je pristupiti na više načina. Jedan od načina je metod zamjene promjenljivih.

Iz jednačine (1) struja jednaka je:

Ako se ova jednačina uvrsti u jednačine napisane pomoću drugog Kirchoffovog zakona (2) i (3) dobija se:

Uvrštavanjem poznatih vrijednosti impedansi i napona, dobijeni sistem od dvije jednačine sa dvije nepoznate je:

Rješenje sistema su kompleksne vrijednosti struja:

a korištenjem izraza za struju određuje se i treća nepoznata struja:

Razvijena snaga na impedansi određuje se kao:

Napon na impedansi je:

pa je snaga jednaka:

Snaga koju izvor napona daje u kolo, jednaka je:

Primjer 2.

U električnom kolu na Slici 2., primjenom metode konturnih struja odrediti kompleksne efektivne vrijednosti struja u granama električnog kola, napon između tačaka A i B, aktivne gubitke u kolu kao i snage izvora napona. Poznato je:

,

Rješenje:

U opstem slučaju sistem jednačina napisan po metodi konturnih struja za složeno električno kolo u kompleksnom obliku glasi:

Velicina predstavlja sumu kompleksnih impedansi svih elemenata duz i-te konture koja je pozitivnog predznaka, predstavlja sumu kompleksnih impedansi svih elemenata grane koja je zajednička za i-tu i j-tu konturu, čiji predznak zavisi od smjera konturnih struja kroz tu granu i predstavlja sumu svih kompleksnih vrijednosti elektromotomih sila duz i-te konture. Elektromotome sile generatora čiji se referentni smjer poklapa sa smjerom konture uzimaju se sa pozitivnim predznakom, a u suprotnom slučaju, sa negativnim predznakom.

Metoda konturnih struja se može primjeniti i za rješavanje električnih kola, koja pored naponskih sadrže i strujne generatore. U tom slučaju potrebno je strujne generatore transforrnisati u ekvivalentne naponske generatore (ako se ne radi o idealnim strujnim generatorima jer takva ekvivalencija ne postoji), ili direktno primjeniti metodu konturnih struja, tako da prilikom izbora nezavisnih kontura, grana koja sadrži strujni generator mora pripadati samo jednoj konturi, što znači da ta grana mora predstavljati nezavisnu granu (spojnicu) konture. Struja strujnog generatora predstavlja konturnu struju te nezavisne grane.

Postupak rješavanja električnog kola svodi se na:

1. Grane u kojima su vezani strujni generatori ne računaju se pri određivanju broja n_k kontura. Te konture ne smiju da sadrže grane sa strujnim generatorima.

2. Vrijednosti struja strujnih generatora su poznate i za njih se ne pišu jednačine po metodi konturnih struja.

3. Piše se n_k jednačina konturnih struja, u koje konturne struje strujnih generatora ulaze na opisani način preko impedansi grana zajedničkih za posmatranu konturu i konture strujnih generatora.

Broj nezavisnih kontura koji ujedno predstavlja i broj potrebnih jednačina pri rješavanju električnog kola primjenom metode konturnih struja je:

U posmatranom električnom kolu broj čvorova je n=4, a broj grana m=6, pa je broj nezavisnih kontura n_k=3.

U električnom kolu su odabrane tri nezavisne konture i u njima naznačeni smjerovi nepoznatih konturnih struja, Slika 2.a.

Sistem jednačina potrebnih za rješavanje datog električnog kola napisan po metodi konturnih struja je:

(1)

Impedanse kontura su:

Impedanse u zajedničkim granama su:

Elektromotorne sile kontura su:

Uvrštavanjem vrijednosti za impedanse kontura, impedanse zajedničkih grana kontura i ekvivalentnih napona kontura u sistem jednačina (1), dobija se:

(2)

Rješavanjem sistema jednačina (2) dobijaju se kompleksne vrijednosti konturnih struja:

Na Slici 2.a proizvoljno su pretpostavljeni smjerovi struja u pojedinim granama električnog kola. Korištenjem prethodno određenih kompleksnih vrijednosti konturnih struja, kompleksne vrijednosti struja kroz pojedine grane u električnom kolu jednake su:

Napon između tačaka A i B se određuje kao:

Aktivni gubici razvijaju se samo na impedansama koje imaju aktivnu otpornost i jednaki su:

Snage koje izvori napona daju u električno kolo su:

Primjer 3.

Primjenom metode superpozicije odrediti struje u svim granama električnog kola sa Slike 3. Poznato je:

Rješenje:

Prema metodi superpozicije, kompleksna efektivna vrijednost struje u svakoj grani električnog kola jednaka je sumi kompleksnih efektivnih vrijednosti struja koje bi u toj grani stvarali naponski i strujni generatori pri pojedinačnom djelovanju u električnom kolu.

Isključenje naponskih generatora vrši se tako što se anulira njihova elektromotorna sila, a njihova unutrašnja otpornost ostaje uključena u datoj grani električnog kola. Ako je naponski generator idealan, nakon isključenja na njegovom mjestu ostaje kratka veza.

Isključenje idealnog strujnog generatora je ekvivalentno anuliranju njegove struje i prekidanju, tj. odstranjivanju grane u kojoj se generator nalazi, jer je po definiciji unutrašnja otpornost idealnog strujnog generatora beskonačna.

Na Slici 3.a prikazano je električno kolo kada u njemu djeluje samo izvor napona . Struje u takvom električnom kolu se određuju kao:

Na Slici 3.a prikazano je električno kolo kada u njemu djeluje samo izvor napona . Struje u takvom električnom kolu se određuju kao:

Na osnovu struja koje su određene pri pojedinačnom djelovanju izvora napona i , superpozicijom stanja određuju se struje u električnom kolu prikazanom na Slici 3.

Primjer 4.

U električnom kolu prikazanom na Slici 4, potrebno je provjeriti teoremu reciprociteta ili uzajamnosti posmatrajući granu sa izvorom napona i granu sa impedansom

Poznato je:

Rješenje:

Ako generator elektromotorne sile E, vezan u grani k prouzrokuje u grani m struju jačine , taj isti generator vezan u grani m prouzrokovao bi u grani k struju iste jačine .

Struja u grani sa impedansom prema Slici 4, određuje se na slijedeći način:

gdje je :

Kada se izvor napona premjesti u granu sa impedansom (Slika 4.a), tada struja kroz granu sa impedansom mora biti jednaka struji .

gdje je :

.

Struje i su jednake, čime je teorema reciprociteta ili uzajamnosti dokazana.

Primjer 5.

U električnom kolu prostoperiodične struje prikazanom na Slici 5. poznato je: i . Pri otvorenom prekidaču P kompleksna vrijednost struje potrošača je: a kompleksna vrijednost struje potrošača je Primjenom teoreme o kompenzaciji odrediti kompleksnu vrijednost struje potrošača poslije zatvaranja prekidača P.

Rješenje:

Struje grana električnog kola, prema teoremi o kompenzaciji, se ne mijenjaju ako se bilo koji elemenat električnog kola zamijeni ili idealnim naponskim generatorom čija je elektromotorna sila jednaka naponu između krajeva tog elementa i vezana je za isti referentni smjer za koji i napon elementa, ili idealnim strujnim generatorom čija je struja jednaka struji elementa i vezana za isti referentni smjer za koji i struja elementa.

Elektromotorne sile naponskih generatora i struje strujnih generatora formiranih u električnom kolu primjenom teoreme o kompenzaciji zavise od struja i napona u električnom kolu, te se zbog ovoga ovi generatori nazivaju zavisni ili neautonomni generatori.

Pri otvorenom prekidaču P, potrošač impedanse može se zamijeniti generatorom elektromotorne sile kao na Slici 5.a pri čemu je elektromotorna sila jednaka:

Struja potrošača u električnom kolu na Slici 5.a može se predstaviti kao:

Poslije zatvaranja prekidača P, Slika 5.b, struja potrošača se može izraziti kao:

S obzirom da je koeficjent isti u oab električna kola, jer zavisi samo od kompleksnih impedansi ili admitansi potrošača u električnom kolu, a konfiguracija potrošača u električnom kolu se nije mijenjala, struja jednaka je:

Primjer 6.

Na Slici 6. je prikazano električno kolo sljedećih karakteristika: , Primjenom Tevenenove teoreme odrediti struju kroz granu sa kondenzatorom.

Rješenje:

Struja kroz neku granu električnog kola, određena Tevenenovom teoremom, jednaka je:

U odnosu na bilo koja dva priključka, električno kolo sa prostoperiodičnim strujama ponaša se kao realni naponski generator elektromotorne sile i unutrašnje impedanse . Elektromotorna sila jednaka je naponu praznog hoda impedansi između tih priključaka.

Kako realni naponski generator može da se zamjeni ekvivalentnim strujnim to Tevenenova teorema može da se predstavi i sa ekvivalentnim strujnim generatorom, što predstavlja Nortonovu teoremu:

Ovdje je jačina struje kroz priključke kada se oni kratko spoje.

Da bi se odredila struja kroz granu sa kondenzatorom električnog kola prikazanog na Slici 6, potrebno je odrediti napon, , i impedansu, , Tevenenovog ekvivalentnog generatora.

Napon ekvivalentnog Tevenenovog generatora dobija se određivanjem potencijalne razlike između tačaka A i B električnog kola prikazanog na Slici 6.a nakon isključenja grane sa kondenzatorom.

Ekvivalentna impedansa Tevenenovog generatora za posmatrano električno kolo određuje se između tačaka u kojima je bila priključena graan sa kondenzatorom, kada se naponski izvor kratko spoji, kako je prikazano na Slici 6.b.

Na osnovu poznatog napona i impedanse Tevenenovog generatora određuje se struja kroz granu sa kondenzatorom:

Primjer 7.

Primjenom Nortonove teoreme odrediti kompleksnu prividnu snagu koju razvija strujni generator u električnom kolu prikazanom na Slici 7. Poznate su komleksne vrijednosti elektromotornih sila naponskih generatora, struje strujnog generatora i impedansi potrošača:

Rješenje:

Električno kolo za određivanje struje Nortonovog generatora prikazano je na Slici 7.a.

Odabirom nezavisnih kontura kao na Slici 7.a, moguće je napisati sljedeće jednačine po metodi konturnih struja:

Uvrštavanjem brojnih vrijednosti dobijaju se jednačine:

Rješavanjem sistema jednačina po nepoznatoj konturnoj struji , odnosno struji Nortonovog generatora dobija se:

Na Slici 7.b, prikazano je kolo za određivanje kompleksne impedanse Nortonovog generatora.

Da bi se odredila kompleksna impedansa Nortonovog generatora, potrebno je transfigurisati trougao sa impedansama , , u ekvivalentnu zvijezdu impedansi , , , Slika 7.c. Impedanse ekvivalentne zvijezde su:

Prema Slici 7.c , kompleksna impedansa Nortonovog generatora je:

Na Slici 7.d, prikazano je ekvivalentno električno kolo formirano od strujnog generatora struje i Nortonovog generatora. Kompleksna vrijednost napona na krajevima strujnog generatora iznosi:

Kompleksna prividna snaga koju razvija strujni generator jednaka je:

Primjer 8.

Primjenom Milmanove teoreme u električnom kolu prikazanom na Slici 8. odrediti aktivnu snagu potrošača impedanse . Poznato je:

Rješenje:

Prema Milmanovoj teoremi električno kolo sa Slike 8. potrebno je predstaviti električnim kolom koje će pored impedanse na kojoj se traži razvijena aktivna snaga, imati ekvivalentnu elektromotornu silu i ekvivalentnu impedansu kao što je prikazano na Slici 8.a.

S obzirom da u posmatranom kolu postoje tri paralelno vezane grane sa generatorima, moguće je pronaći njihovu ekvivalentnu elektromotornu silu i ekvivalentnu admitansu (impedansu ) na sljedeći način:

gdje n predstavlja broj paralelno vezanih grana.

Predznak članova uzima se na osnovu usvojenog smjera djelovanja ekvivalentne elektromotorne sile, tako što ako se smjer djelovanja elektromotorne sile poklapa sa smjerom djelovanja elektromotorne sile onda je predznak člana pozitivan, u suprotnom, predznak je negativan.

Ekvivalentna elektomotorna sila jednaka je:

Ekvivalentna admitansa je:

odavdje je ekvivalentna impedansa jednaka:

Struja u električnom kolu na Slici 8.a se dobije kao:

Razvijena aktivna snaga na impedansi je:

Primjer 9.

Za električno kolo prikazano na Slici 9. poznato je:

Koristeći metodu potencijla čvorova potrebno je odrediti napon .

Rješenje:

U opštem slučaju sistem jednačina napisan po metodi potencijala čvorova za složeno električno kolo prostoperiodične struje je oblika:

Veličina predstavlja sumu kompleksnih admitansi svih grana koje se stiču u i-ti čvor i pozitivnog je predznaka, predstavlja sumu kompleksnih admitansi svih grana koje se nalaze između i-tog i j-tog čvora i negativnog je predznaka, a predstavlja sumu kompleksnih struja koje se stiču u i-ti čvor.

Potreban broj jednačna pri rješavanju električnog kola primjenom metoda potencijala čvorova je:

U posmatranom električnom kolu broj čvorova je n=3 pa je broj potrebnih jednačina .

Sistem jednačina napisan po metodi potencijala čvorova, za električno kolo sa definisanim čvorovima na Slici 9:

(1)

gdje su:

ˇ admitanse

ˇ admitansa zajedničke grane za dva čvora

ˇ struje čvorova

Rješavanjem sistema jednačina (1), dobiju se potencijali čvorova 1i 2:

Primjenom drugog Kirchoffovog zakona, napon jednak je:

Da bi se odredio napon potrebno je odrediti struju koja teče od čvora 0 ka čvoru 1:

Odavde je napon jednak:

Primjer 10.

U električnom kolu prikazanom na Slici 10. potrebno je provjeriti teoremu o održanju kompleksne snage u kolu. Poznate su kompleksne vrijednosti elektromotornih sila generatora i impedansi potrošača:

Rješenje:

Prema teoremi i održanju kompleksne snage, ukupna kompleksna snaga u električnom kolu jednaka je nuli:

Potrebno je odrediti u svim granama električnog kola kompleksne snage koje daju generatori, odnosno koje se razvijaju na potrošačima. Da bi se te snage izračunale neophodno je u granama odrediti struje. Za određivanje struja može se primjeniti bilo koja metoda, npr. metoda konturnih struja.

U datom električnom kolu, moguće je uočiti tri nezavisne konture. Na Slici 10.a prikazani su smjerovi konturnih struja, kao i struja u pojedinim granama. Jednačine napisane po metodi konturnih struja su:

Uvrštavanjem brojnih vrijednosti dobija se sistem jednačina:

Rješavanjem ovog sistema jednačina dobijaju se kompleksne vrijednosti konturnih struja:

Prema naznačenim smjerovima struja u granama električnog kola na Slici 10.a kompleksne vrijednosti ovih struja su:

Na osnovu poznatih struja u granama određuju se kompleksne snage koje u električno kolo daju generatori i kompleksne snage koje se razvijaju na potrošačima pri čemu je referentni smjer, smjer konturne struje:

Prema teoremi o održanju kompleksne snage slijedi da je:

Na osnovu ovoga teorema o održanju kompleksne snage u električnom kolu je potvrđena.