Prikazano kolo ima tri grane i dva čvora. Primjenom ove metode treba postaviti jednačine i to:

(n_č-1)=2-1=1,

nezavisnu jednačinu koristeći prvi Kirchoffov zakon i:

n_g-(n_č-1)=3-1=2,

jednačine koristeći drugi Kirchoffov zakon.

Usvojimo referentne smijerove struja. Za čvor 2 prema prvom Kirchoffovom zakonu važi:

I₁+I₂=I₃.

(R₁+R₃)I₁-R₂I₂=E₁-E₂                                                                                                                                                      (1)

2I₁-2I₂=5                                                                                                                                                                           (2)

I₁=2.5 [A], I₂=0 [A], I₃=2.5 [A].

Metodom konturnih struja riješiti električno kolo sa Slike 2., ako je poznato:
R₁=100 [V], E₂=20 [V], E₃=E₅=30[V], E₄=50[V], R₁=R₆=5[W ], R₂=R₅=10[W ], R₃=15[W ].

Metoda direktne primjene Kirchoffovih zakona za riješavanje električnih kola, odlikuje se složenom matematičkom procedurom, koja se sastoji u rješavanju velikog broja jednačina. Zbog toga je opravdano nastojanje da se definišu nove metode s ciljem da se smanji broj jednačina i pojednostavi procedura rješavanja.

Metoda konturnih struja počiva na primjeni Kirchoffovih zakona, ali je broj jednačina znatno reduciran. Direktnom primjenom Kirchoffovih zakona bilo je potrebno napisati onoliko jednačina koliko je struja u kolu, dok primjenom metode konturnih struja potrebno je napisati n_g-(n_č+1) jednačina, tj. onoliko koliko je u prethodnoj metodi postavljeno primjenom drugog Kirchoffovih zakona. Razmatranje se svodi na struje u nezavisnim konturama, dok struje u zajedničkim granama za dvije ili više kontura rješava kao algebarski zbir usvojenih konturnih struja.

Prije svega treba odrediti nezavisne konture u kolu i one se označavaju sa I, II, III itd. Svaka kontura sadrži po jednu granu koja ne pripada ni jednoj drugoj konturi. Struje koje djeluju duž kontura nazivaju se konturnim strujama i označavaju I₁, I₂, itd. Smjerovi konturnih struja označavaju se strelicama koje se odabiraju proizvoljno. Za svaku konturu napiše se jednačina dinamičke ravnoteže u skladu s drugim Kirchoffovih zakonom. Opšti oblik jednačina konturnih struja za složeno kolo s n kontura je:

R₂₁I₁+R₂₂I₂+……….+R_2nI_n=E₂₂                                                                                                                                       (1)
.
.
.
R_n1I₁+R_n2I₂+……….+R_nnI_n=E_nn

R₁₂, R₁₃, …..R_1n otpori u zajedničkoj grani

E₁₁, E₂₂, …..E_nn suma elektromotornih sila u konturi

Kolo ima šest grana i četiri čvora. Tri grane ulaze u sastav stabla grafa, a tako da kolo posjeduje tri nezavisne konture. Struje u konturama su I₁, I₂ i I₃ i proizvoljno su orijentisane. Sada se može napisati slijedeći sistem jednačina:

R₂₁I_I+R₂₂I_II+R₂₃I_III=E_II                                                                                                                                                        (2)

R₂₃=R₃₂=R₅=10 [W], R₁₁=R₁+R₆=10 [W], R₁₂=R₂₁=0 [W], R₁₃=R₃₁=R₆=5 [W],

Primjenom metode superpozicije odrediti struje u svim granama električnog kola sa Slike 3. Poznato je:

Rješenje:

Princip superpozicije predstavlja jedan od temeljnih principa linearne elektrotehnike. U linearnim električnim kolima definiše: da je jačina struje u bilo kojoj grani kola jednaka algebarskoj sumi pojedinačnih struja koje bi u toj grani stvarali naponski i strujni generatori koji su u kolu kada bi svaki djelovao ponaosob.

                                                                                                    (1)

Član:predstavlja odnos otpornih članova i konstantnog iznosa. U izrazu za konturnu struju I_k koja predstavlja struju u k-toj nezavisnoj grani, ako se raščlane sume elektromotornih sila , može se pokazati pojedinačni uticaj svake elektromotorne sile u njoj. Dobijeni izraz za struju, u tom slučaju, na očigledan način pokazuje da pojedinačno sve elektromotorne sile u kolu svojim djelovanjem participiraju u njenom konačnom izrazu. Struje u zajedničkim granama određene su sumom konturnih struja koje protiču kroz dotičnu granu.

Za neki proizvoljni čvor u konturi u složenom kolu mogu se, u skladu s Kirchoffovim zakonima, napisati jednačine:

                                                                                                                                 (2)

Ako se naizmjenično pretpostavlja, npr. da u kolu djeluje samo elektromotorna sila E₁, a da su ostale jednake nuli, mogu se za svaku elektromotornu silu dobiti odgovarajuće struje, pa se za taj čvor i konturu dobija:

                                                                                                                                                 (3)

                                                                                                                                               (4)

                                                                               (5)     

koji je takođe sistem linearnih jednačina. Upoređivanjem sistema vidimo da je struja u bilo kojoj grani kola jednaka algebarskoj sumi pojedinačnih struja koje u toj grani stvaraju elektromotorne sile u kolu, kada bi svaka djelovala pojedinačno. Princip superpozicije ne važi za raspodjelu snaga pošto snage predstavljaju funkcije drugog stepena struje.

Električni otpori R₁, R₂, R₃ povezani su u zvijezdu. Ako se elektromotorna sila E prvo priključi između krajeva 1 i 2, a krajevi 3 i 4 kratko spoje, a nakon toga elektromotorna sile E spoji između krajeva 3 i 4, a krajevi 1 i 2 kratko spoje, dokazati princip uzjamnosti.

Ako se u grani 1-2 stavi elektromotorna sila koja djeluje od tačke 2 prema tački 1, ona u grani 3-4 stvara struju Ip koja je usmjerena od tačke 3 prema tački 4. Ukoliko se sada ista elektromotorna sila stavi u granu 3-4 i to tako da djeluje od 3 prema tački 4 u grani 1-2 će stvorit struju I_k koja je usmjerena od tačke 2 prema 1 i jednaka je sa strujom I_p.

Princip uzajamnosti koga je definisao Kirchoff defeniše: ako neka elektromotorna sila djelujući u bilo kojoj grani pasivnog ekeltričnog kola proizvoljne konfiguracije stvara u drugoj grani struji I, i ako se ta ista elektromotorna sila prenese u drugu granu, stvarat će u prvoj grani istu toliku struju.

Smijer struje u granama treba odrediti u odnosu na smijer djelovanja elektromotorne sile E.

Sa Slike 4.c se dobija:

                                                                                                             (1)

                                                                                                                                                       (2)

                                                                                                                                               (3)

                                                                                                                                                (4)

što je očigledno i u skladu s principom uzajamnosti.

Pomoću teoreme kompenzacije odrediti otpornost otpornika Rx tako da napon na njegovim krajevima iznosi . Kolo je prikazano na Slici 5. Poznato je: E=70[V], IS=0.5[A], R=100[W].

Teorema kompenzacije omogućava da se u proizvoljnom električnom kolu jedna grana (ili njen dio) otpornosti R, kroz koju protiče struja jačine I, zamijeni naponskim generatorom elektromotorne sile E=RI, smjera suprotnog od smjera struje I. S obzirom na ekvivalenciju koja vrijedi između realnog naponskog i strujnog generatora, teorema kompenzacije omogućava da se grana (ili njen dio) kroz koji protiče struja jačine I zamijeni i idealnim strujnim generatorom struje iste jačine i smjera kao što je smjer struje kroz posmatranu granu.

Otpornik Rx kroz koji protiče struja I12 i na njegovim krajevima stvara napon U12, moguće je po teoremi kompenzacije, zamijeniti idealnim naponskim generatorom elektromotorne sile:

Koristeći kolo prikazano na Slici 5.a napon U12 moguće je izraziti i kao:

Iz posljednje relacije dobija se da je otpornost nepoznatog otpornika Rx:

Pomoći Tevenenove teoreme i Nortonove teoreme odrediti struju u grani s otporom R₅.
E₁=E₂=20[V], R₁=R₂=40[W ], R₃=10[W ], R₄=160[W ], R₅=20[W ].

Struja kroz bilo koju granu ili dio grane električnog kola može se odrediti pomoću takozvane metode ekvivalentnog generatora. Suština metode sastoji se u tome da se struja u dijelu grane između tačaka 1 i 2 neće promijeniti ako se dio kola, sa kojim je uočeni dio grane kola povezan, zamijeni jednim ekvivalentnim generatorom odgovarajuće elektromotorne sile E_e i unutrašnjeg otrpora R_u.

Ovu teoremu definisao je Tevenen pa je poznata kao tevenenova teorema. On je definisao kako se određuje E_e ekvivalentnog generatora i njegov unutrašnji otpor R_u. Po Tevenenu, svako aktivno električno kolo, u odnosu na bilo koje dvije tačke u grani kola ponaša se kao realni naponski generator. Elektromotorna sila generatora E_e jednaka je naponu između tačaka 1 i 2 kada je otpor R uklonjen. Ako se sa U₁₂₀ oznaći napon na krajevima 1 i 2 kada je otpor uklonjen onda važi:

E_e=U_120.

Unutrašnji otpor generatora R_u jednak je ekvivalentnoj otpornosti kola R_e, posmatrano sa strane tačaka 1 i 2, kada su sve elektromotorne naponskih generatora jednake nuli (krajevi generatora kratko spojeni) i kada su sve struje strujnih generatora jednake nuli (krajevi generatora otvoreni).

                                                                                                                                                                        (1)

Struja ekvivalentnog strujnog generatora ili Nortonovog generatora je:

                                                                                                                                                                            (1)

                                                                                                                                                                  (2)

                                                                                                                                                                    (3)

gdje napon U₁₂₀ predstavlja napon između tačaka 1 i 2 kada je otpor R₅ isključen. Otpor R_e predstavlja ekvivalentni otpor između čvorova 1 i 2 kada se grana sa R₅ isključi, a generatori elektromotornih sila E₁ i E₂ kratko spoje, pa je:

b) Kod primjene metode ekvivalentnog strujnog generatora, granu s otporom R₅ treba kratko spojiti. Struja i kratko spojenoj grani u tom slučaju predstavlja struju ekvivalentnog strujnog generatora.

Ova struja se može odrediti pomoću metode potencijala čvorova. Ako se pretpostavi da je potencijal čvorova 1 i 2 V₁=V₂=0 dobija se:

Struja I_k=I_s može se odrediti ako se prethodno odrede struje I’₁ i I’_3, jer za čvor 1 važi

I_k=I_s= I’₁- I’₃=0.3 [A].

R_ek=40[W ].

Iz sheme ekvivalentnog strujnog generatora može se odrediti struja u grani s otporom R₅.

Za kolo na Slici 7. izračunati struju u svim granama primjenom Millmanove teoreme. Podaci su:

Predznak članova EiGi uzima se na osnovu usvojenog smjera djelovanja elektromotorne sile. Ako se smjer djelovanja elektromotorne sile Ei poklapa sa smjerom djelovanja elektromotorne sile Ee, onda je predznak ovih članova pozitivan; u suprotnom predznak je negativan. Ovaj postupak naziva se Millmanovom teoremom.

Jačina struje I5 u kolu na Slici 7.a je:

Primjenom metode potencijala čvorova riješeti električno kolo sa Slike 8., ako je poznato:
E₁=E₂=E₃=102.5[V], R₁=R₂=R₃=0.5[W], R₄=6.67[W].

Ova metoda počiva na primjenei prvog Kirchoffovog zakona. Ona je naročito pogodna za složena kola u kojima je broj grana znatno veći od broja čvorova. Primjenjuje se na n-1 čvorova tj ima n_č-1 jednačinu koje se konstruišu po prvom Kirchoffovom zakonu. Na ovaj način dobijene jednačine predstavljaju strujne jednačine. Njihovom transformacijom u naponske jednačine dobiju se takozvane jednačine napona čvorova. Zamislimo dva čvora (kao dio složenog električnog kola) k, j koji su povezani samo jednom granom, i da je smijer obilaženja od čvora j prema čvoru k. Za granu j-k važi I_jk=-I_kj E_kj=-E_jk, pa se potencijalna razlika može napisati:

                                                                                                                                                      (1)

                                                                                                                                  (2)

Prema tome struja u grani se može odrediti ako se može odrediti porencijalna razlika na njenim krajevima. Za svaki čvor u složenom kolu važi prvi Kirchoffov zakon tako da za čvor j važi:

                                                                                                                                                                            (3)

gdje p predstavlja broj čvorova sa kojima je čvor j povezan, pri čemu je broj grana između čvorova proizvoljan. U opštem slučaju je:

                                                                                                                                                         (4)

pri čemu je zbog negativnog predznaka sume na lijevoj strani jednačine struja I_j pozitivna za elektromotornu silu čije je djelovanje orijentisano prema čvoru, a negativna za elektromotornu silu čije je djelovanje orijentisano od čvora j, isto vrijedi i za eventualne strujne izvore sa strujom I_m. Sada se može napisati sistem jednačina:

-G₁₂(V₁-V₀)+G₂₂(V₂-V₀)-…….-G_2n(V_n-V₀)=I₂                                                                                                         (5)
.
.
.
-G_n1(V₁-V₀)-G_n2(V₂-V₀)-…….+G_nn(V_n-V₀)=I_n

-G₁₂V₁+G₂₂V₂-…….-G_2nV_n=I₂                                                                                                       (6)

G_j suma provodnosti svih grana koje se stiču u čvor j

G_jk suma provodnosti svih grana između čvora j i čvora k

I_j potencijal čvora j u odnosu na potencijal referentnog čvora.

G₁₁U₁=I₁.

U električnom kolu na Slici 9. poznato je: E1=120 [V], E2=60 [V], R1=R2=R3=R=30 [W]. Odrediti otpor potrošača Rp da bi snaga na njemu bila maksimalna. Kolika je ta snaga i koliki je stepen korisnog dejstva u tom slučaju?

Za prosto električno kolo prikazano na Slici 9.b, jednačina koja predstavlja funkciju snage u zavisnosti od otpornosti potrošača je:

to je maksimalna snaga na potrošaču:

Dakle, da bi se na potrošaču ostvarila maskimalna snaga potrebno je da otpornost potrošača bude jednaka otpornosti generatora. Ovaj uslov se često koristi u telekomunikacijama i naziva se uslov prilagođenja potrošača na generator.
Stepen korisnog dejstva sistema generator – potrošač definiše se kao odnos korisne snage na potrošaču i ukupne snage koju daje generator. Za prosto električno kolo (sastoji se od generatora unutrašnje otpornosti i potrošača otpornosti Rp) stepen korisnog dejstva je:

Stepen korisnog dejstva pri uslovu maksimalne snage na potrošaču iznosi, dakle, 0.5. To znači da samo 50% energije generatora odlazi u korisne svrhe, dok ostatak se troši na pokrivanje unutrašnjih gubitaka generatora. Uslov maksimalne snage na potrošaču dosta se primjenjuje u telekomunikacijama i prenosu signala male snage. Za elektroenergetska postrojenja u kojima se vrši prenos energije velikih iznosa, cilj je da stepen korisnog dejstva bude što veći, tako da se kod projektovanja ovih, ima u vidu da stepen korisnog dejstva bude veći od 0.9. Odavde proizilazi da unutrašnja otpornost generatora mora biti što manja u odnosu na otpornost potrošača, čime se obezbjeđuje da se najveći dio energije izvora predaje potrošaču gdje se vrši koristan rad.
Izvedene izraze moguće je primjeniti na bilo koje složeno električno kolo, jer Tevenenova teorema omogućava da se svako složeno kolo svede na prosto električno kolo. U tom slučaju maksimalna snaga na potrošaču razvit će se kada je otporost potrošača jednaka unutrašnjoj otpornosti Tevenenovog generatora:

Znači, u zadatku je prvo potrebno odrediti napon i otpornost Tevenenovog generatora. S obzirom da u posmatranom kolu postoje tri paralelno vezane grane, moguće je pronaći ekvivalentnu elektromotornu silu i ekvivalentnu provonost (otpornost) pomoću Millmanove teoreme, pa imamo:

odnosno otpornost:

Primjenom Tevenenove teoreme na kolo sa Slike 9.a kolo se transformiše u kolo na Slici 9.b pri čemu je: