Nastavno-naučnom vijeću

Primjer 1.

Tanki kružni disk poluprečnika R, ravnomjerno naelektrisan gustinom površinskog naelektrisanja s (s>0), prikazan je na Slici 1. Disk se nalazi u vazduhu. Odrediti:

a) vektor električnog polja u tački M koja se nalazi na osi kružnog diska na visini

b) potencijal tačke M.

Rješenje:

Vektor jačine električnog polja u tački M koja se nalazi na visini od centra kružnog diska rezultat je djelovanja površinske gustine naelektrisanja s koja je ravnomjerno raspoređena. U ovom slučaju posmatra se vektor jačine električnog polja kojeg u tački M stvara količina naelektrisanja dQ koja se nalazi na elementarnoj površini dS, što je i prikazano na Slici 1. a.

Količina naelektrisanja dQ koja se nalazi na elementarnoj površini dS iznosi:

gdje je:

Vektor jačine električnog polja u tački M je u pravcu vektora raspojanja . Njegov intenzitet određen je sa (ukoliko se smatra da količina naelektrisanja dQ predstavlja veoma malo "tačkasto" naelektrisanje!):

Zbog raspodjele naelektrisanja koja su osno simetrična, moguće je zaključiti da vektori obrazuju konus sa vrhom u tački M. Analizom se utvrđuje da je suma projekcija vektora po x-osi i po y-osi jednaka nuli:

te postoji samo komponenta za koju vrijedi:

Sa Slike 1.a. intenzitet vektora rastojanja jednak je:

odnosno:

Na osnovu gornjih jednakosti dobija se intenzitet vektora rezultantne jačine polja u tački M:

Ukupni potencijal tačke M je jednak sumi potencijala prozrokovanih količinama naelektrisanja dQ smještenim na elementarnim površinama dS. Količina naelektrisanja dQ sa elementarne površine dS stvorit će potencijal dV u tački M iznosa:

Ukupni potencijal koji ima tačka M dobije se kad se djelovanje svih elementarnih količina naelektrisanja sabere, te je prema tome:

Primjer 2.

U unutrašnjosti kugle od materijala relativne dielektrične konstante , poluprečnika R=0.5 [m] nalazi se raspoređena količina naelektrisanja čija se gustina zapreminskog naelektrisanja mijenja po zakonu , što je prikazano na Slici 2. Izvan kugle je slobodan prostor gdje nema naelektrisanja. Izračuanti potencijal V u centru kugle.

Rješenje:
Potencijal V u centru kugle se određuje kao:

gdje je tačka referentnog potencijala uzeta u beskonačnosti, jer je kugla konačnog poluprečnika. Pri kretanju od centra kugle do tačke referentnog potencijala prolazi se kroz dvije sredine: sredinu sa dielektričnom konstantom u kojoj postoji vektor jačine električnog polja i sredinu sa dielektričnom konstantom u kojoj postoji vektor jačine električnog polja .

Na osnovu postojanja dva vektora jačine električnog polja i , određivanje potencijala u centru kugle se vrši razdvajanjem integracije na dva dijela:

Određivanje vektora jačine električnog polja i , vrši se primjenom Gaussove teoreme. Na Slici 2.a. prikazana je zatvorena površina poluprečnika r (0<r<R), kroz koju se određuje fluks vektora jačine električnog polja .

Naelektrisanje koje je obuhvaćeno zatvorenom površinom poluprečnika r, predstavlja gustinu zapreminskog naelektrisanja r koja se nalazi u zapremini unutar zatvorene sfere poluprečnika r:

S obzirom da je izvor polja pozitivno naelektrisanje i da je polje radijalno, a da je normala na zatvorenu površinu usmjerena ka vanjskom prostoru onda je ugao koji zatvaraju vektor jačine polja i vektor normale jednak 0. Na osnovu toga je:

Na Slici 2.b. prikazana je zatvorena površina poluprečnika r (r>R), kroz koju se određuje fluks vektora jačine električnog polja .

Naelektrisanje koje je obuhvaćeno zatvorenom površinom poluprečnika r predstavlja gustinu zapreminskog naelektrisanja r koja se nalazi u zapremini unutar kugle poluprečnika R.

I u ovom slučaju, ugao koji stvaraju vektor jačine električnog polja i vektor normale jednak je 0. Na osnovu toga vektor jačine električnog polja određuje se kao:

Uz definirane vektore i , i uz uslov da vektori i jednaki određuje se potencijal u centru kugle:

Primjer 3.

Nacrtati i objasniti sliku polja za slučaj nenaelektrisanog provodnog loptastog tijela sa šupljinom u koju je unijeto pozitivno tačkasto naelektrisanje Q postavljeno u centar.

Rješenje:

Ekranizirajuće dejstvo šupljih provodnih tijela postoji samo u slučaju polja koja potiču od vanjskih naelektrisanja. Kada se u unutrašnjost nekog šupljeg nenaelektrisanog provodnog tijela unese tačkasto naelektrisanje Q, zbog pojave električne indukcije na unutrašnjem zidu lopte indukovat će se naelektrisanje suprotnog znaka od znaka naelektrisanja Q. Pošto je uslovom zadatka unijeto pozitivno tačkasto naelektrisanje, to će se na unutrašnjoj površini pojaviti indukovano naelektrisanje – Q, a na vanjskoj površini +Q.

Pojava negativnih indukovanih naelektrisanja na unutrašnjoj površini je posjedica privlačnog dejstva unesenog pozitivnog naelektrisanja Q na elektrone u zidu tijela. Ova indukovana nalektrisanja na unutrašnjem zidu tako su raspoređena da zajedno sa unesenim naelektrisanjem Q obezbjede uslov da u unutrašnjosti da u unutzrašnjosti provodnog zida vektor jačine električnog polja E bude jednak nuli (Slika 3.).

Primjenjujući Gaussov zakon na zamišljenu zatvorenu površinu S unutar provodnog zida fluks vektora E kroz površ S je 0, jer u svim tačkama zatvorene površine E=0. to znači da je ukupno obuhvaćeno naelektrisanje jednako nuli. Ako je ukupno indukovano naelektrisanje na unutrašnjem zidu lopte, onda je primjenom Gaussovog zakona i gornjeg zaključka, ukupno naelektrisanje jednako:

odnosno:

Uslovom zadatka šuplja lopta je nenaelektrisana, što znači da će se na vanjskoj površini lopte indukovati pozitivno naelektrisanje +Q.

Jačina polja u zidu jednaka je nuli, unutrašnja naelektrisanja +Q (tačkasto uneseno) i indukovano naelektrisanje na unutrašnjoj površini zida –Q, nemaju nikakvog uticaja na raspodjelu naelektrisanja na vanjskoj površini lopte. Ova raspodjela jedino zavisi od oblika vanjske površine tijela. S obzirom da je šuplje provodno tijelo lopta, to će raspodjela površinskog naelektrisanja biti ravnomjerna.

Kako potencijal naelektrisanja Q (za referentnu tačku u beskonačnosti) iznosi:

to su linije polja radijalni zraci. Ekvipotencijalne površi su koncetrične sfere.

Kakva je raspodjela indukovanih naelektrisanja u nenaelektrisanoj provodnoj lopti kada je tačkasto naelektrisanje postavljeno van centra lopte?

U slučaju da tačkasto naelektrisanje Q nije postavljeno u centru lopte ukupno indukovano naelektrisanje na unutrašnjem zidu lopte je –Q i može se provesti ista analiza. Raspodjela indukovanih naelektrisanja prikazana je na Slici 3.a.

Na kraju, može se analizirati slučaj kada je u blizini šuplje provodne lopte, sa njene vanjske strane, postavljeno naelektrisanje +Q, Slika 3. b.

Primjer 4.

Na Slici 4. prikazan je sferni kondenzator, unutrašnje elektrode poluprečnika a na kojoj se nalazi naelektrisanje Q (Q>0). Između elektroda kondenzatora su dva koncetrična sloja dielektrika relativnih dielektričnih konstanti i . Poluprečnik granične sferne površine između ova dva dielektrika je b, a poluprečnik spoljašnje elektrode je c.

Odrediti:

a) vektore jačine električnog polja, električnog pomjeraja i električne polarizacije

b) gustine površinskih vezanih naelektrisanja

c) izraz za potencijal tačaka između elektroda uzimajući da se spoljašnja elektroda nalazi na nultom potencijalu

d) kapacitet kondenzatora

Rješenje:

Sistem od dvije koncentrične međusobno izolirane metalne sfere, čije je međusobno rastojanje malo u odnosu na prečnik spoljašnje metalne sfere predstavlja sferni kondezator.

Unutar kondezatora postoje dva vektora jačine električnog polja i , u sredini relativnih dielektričnih konstanti i , respektivno, kao i dva vektora električnog pomjeraja i . U unutrašnjosti sfernog kondezatora električno polje je radijalno. Vektor jačine elelktričnog polja i električnog pomjeraja su normalni na graničnu površ, tako da se može primjeniti sljedeći granični uslov:

Vektor jačine električnog polja u kondenzatoru postoji samo u prostoru između dvije elektrode, odnosno u dijelu gdje je a>r>c.

Vektor električnog pomjeraja određuje se primjenom Maxwellovog postulata na sfernu površinu poluprečnika r, koja se nalazi u prostoru između lopti i koncentrična je sa elektrodama. Na slikama prikazane su sfere (isprekidana linija) na koje se primjenjuje Maxwellov postulat za određivanje vektora električnog pomjeraja i

za a<r<c.

Vektor električnog pomjeraja je kolinearan sa vektorom normale na zatvorenu površinu, a količina naelektrisanja koja je obuhvaćena ovom sferom je naelektrisanje unutrašnje elektrode Q, tako da električni pomjeraj D iznosi:

Intenzitet vektora jačine električnog polja iznosi:

za a<r<b,

a unutar dielektrika relativne dielektrične konstante , intenzitet vektora jačine električnog polja je:

za b<r<c.

Unutar dielektrika relativne dielektrične konstante , intenzitet vektora električne polarizacije iznosi:

za a<r<b,

a unutar dielektrika relativne dielektrične konstante , intenzitet vektora električne polarizacije iznosi:

za b<r<c.

Gustine površinskih vezanih naelektrisanja brojno su jednake intenzitetima vektora polarizacije. U dielektriku relativne dielektrične konstante određuje se gustina površinskih vezanih naelektrisanja a u dielektriku relativne dielektrične konstante određuje se gustina površinskih vezanih naelketrisanja Zbog sfernog oblika kondenzatora intenziteti gustina površinskih vezanih naelektrisanja i , unutar jednog dielektrika nisu isti, odnosno pa je:

Zbog postojanja dva dielektrika između elektroda sfernog kondenzatora, odnosno postojanja dva vektora jačine električnog polja izraz za potenciijal tačaka između elektroda moguće je odrediti za dva slučaja:

Prvi slučaj:

Tačke za koje se određuje potencijal nalaze se unutar dielektrika relativne dielektrične konstante , odnosno za b<r<c tada je:

Drugi slučaj:

Tačke za koje se određuje potencijal, nalaze se unutar dielektrika relativne dielektrične konstante , odnosno a<r<b tada je:

Da bi se odredio kapacitet ovog sfernog kondenzatora neophodno je odrediti napon na elektrodama kondenzatora:

Kapacitet kondenzatora iznosi:

Primjer 5.

U vazduhu se nalaze dvije provodne sfere poluprečnika a i b, kao na Slici 5. Naelektrisanja sfera iznose i . Odrediti energiju polja sfera prije i poslije zatvaranja prekidača P.